سوف نتحدث عن (e)!
الثوابت الرياضية هي أهم أنواع الثوابت، و (e) هو أحد هذه الثوابت.
(e) هو عدد غير نسبي، و هو يساوي : 2.178281828... إلخ
مشكلة الثابت (e) هو أنه ليس معرفًا هندسيًا (باستخدام الهندسة).
الآن، الثابت باي (pi) هو ثابت معرف هندسيًا. إنه النسبة بين محيط الدائرة وقطرها.
وهو أمر عرفه قدماء اليونانيون. الكثير من الثوابت الهندسية ترجع إليهم.
لكن الثابت (e) مختلف، فهو لا يعتمد على شكل هندسي، ليس معتمدًا على الهندسة.
إنه ثابت رياضي مرتبط بالتضخم ومعدل التغير، ولكن لما يرتبط بهما؟
لنأخذ نظرة على المسألة التي تم استعمال الثابت (e) للمرة الأولى فيها.
لذلك، سنعود إلى القرن السابع عشر، هذا هو جاكوب برنولي
، وقد كان مهتمًا بالفائدة المركبة، وهي كسب فائدة على أموالك.
تخيل أنك تملك جنيهًا في البنك. وهو بنك شديد الكرم، حيث أنهم سيعرضون عليك فائدةً سنوية بنسبة 100%.
فائدة بنسبة 100%، لذا، بعد عام...
ستمتلك جنيهين.
لقد قمت بكسب فائدة بقيمة جنيه، ولديك الجنيه الأصلي في البنك...
لذا، أصبحت تمتلك جنيهين.
ماذا إذا عرضت عليك فائدة بنسبة 50% كل ستة أشهر؟
أهذا أفضل أم أسوأ؟
حسنًا، لنفكر بالأمر...
حسنًا، ستبدأ بجنيه واحد، ثم سأعرض عليك فائدة بنسبة 50% كل ستة أشهر.
لذا، بعد ست أشهر، سيكون لديك جنيه ونصف.
ثم ستنتظر لست أشهر أخرى، و ستكسب فائدة بنسبة 50% على المجموع الكلي لنقودك...
و هو 75 قرشًا أخرى...
و ستجمع هذا على ما كان لديك بالفعل، ليصبح لديك جنيهن و ربع.
هذا أفضل!
إنه أفضل. لكن ماذا يحدث لو فعلت هذا بشكل أكثر انتظامًا؟
ماذا لو أضفت الفائدة كل شهر؟
سأعرض عليك فائدة بنسبة 1/12 كل شهر.
أهذا أفضل؟
لنفكر في الأمر.
بعد مرور أول شهر، سيتم ضربها في الرقم الآتي:
1 + 1/12
1/12، هذه هي فائدتك، و ستضيف قيمة هذه الفائدة إلى الجنيه الذي تمتلكه بالفعل.
ستفعل هذا في الشهر الأول...
ثم في الشهر الثاني...
ستأخذ هذه القيمة و تقوم بضربها مرةً أخرى..
في نفس القيمة.
و في الشهر الثالث ستقوم بضربها مرة أخرى...
و مرة أخرى.
ستفعل هذا إثنتي عشر مرة في العام.
لذلك، لحساب القيمة الكلية في عام،
سترفع هذه القمية إلى أس 12.
و القيمة ستكون 2.61 جنيه.
لذا هذا في الحقيقة أفضل. الحقيقة هي أنه كلما كان إضافة الفائدة أكثر انتظامًا...
كلما كانت النتيجة أفضل.
لنجرب هذا كل أسبوع. ماذا لو أنك أضفت ربحًا كل أسبوع؟ إلى أي درجة سيكون هذا أفضل؟
ما أعنيه هو أنك تربح فائدة بنسبة 1/52 من المبلغ الأصلي أسبوعيًا. و في نهاية العام...
يصبح لديك 52 أسبوعًا، و المبلغ الكلي سيكون 2.69 جنيه.
الأمر يصبح أفضل و أفضل.
بشكل كلي، يمكنك ملاحظة نمط يتكون... في العموم سيكون الشكل النهائي كالآتي:
أنت تضرب في (1 + 1/ن)^ن. أرجو أنكم تلاحظون حدوث هذا النمط.
لذا، هنا، ن = 12 لو أنك تضيف الفائدة كل شهر، و ن = 52 لو أنك تضيف الفائدة كل أسبوع.
لو أنك أضفت الفائدة يوميًا ستكون القيمة مساوية ل 1 * (1 + 1/365) ^ 365
و هذا يساوي 2.71 جنيه.
حسنًا، و يصبح الأمر أفضل لو أنك أضفت الفائدة كل ثانية أو كل نانو ثانية.
ماذا لو أضفت الفائدة باستمرار؟
في كل لحظة أربح فائدةً مستمرة. كيف سيبدو هذا؟
هذا يعني أنني هذه الصيغة الحسابية هنا...
ستصبح (1+1/ن)^ن، حيث ن تئول أو تتجه إلى ما لا نهاية.
ستكون هذه الفائدة المستمرة التي لا تنتهي. الآن، ما معنى هذا؟ ما هي هذه القيمة؟
و هذا هو ما أرد برنولي معرفته.
لم يتمكن من حلها، لكنه كان يعلم أن تلك القيمة تقع بين الإثنين و الثلاثة، و لذا فقد تمكن أويلر
من حلها بعد خمسين عام من فكرة برنولي.
أويلر يقوم بحل كل شيء!
و القيمة التي توصل لها أويلر كانت 2.718281828459... إلخ.
لقد كنا قريبين جدًا من هذه القيمة حينما قمنا بإضافة الفائدة يوميًا، أليس كذلك؟ لقد كانت القيمة تساوي 2.71 عند إضافة
الفائدة كل يوم.
لقد كنا نقترب أكثر و أكثر لتلك القيمة. لذا فعند الإضافة يوميًا، كنا شديدي القرب منها بالفعل.
لكن لو أنك فعلتها للأبد، سيكون لديك عدد غير نسبي.
أويلر أطلق على هذه القيمة (e). لم يقم بإطلاق اسمه عليها، و على الرغم من ذلك فهي معروفة باسم عدد أويلر.
و لما قام بتسميتها (e) إذن؟
لقد كان حرفًا فحسب. ربما كان قد قام باستخدام A و B و C و D بالفعل لشيء آخر.
أليس كذلك؟ لذا قام باستعمال الحرف التالي لهم.
مصادفة غريبة!
لا أظن أنه كان مغرورًا و قام بتسميتها بأول حرف من اسمه.
لكنها صدفة مذهلة، القيمة تسمى (e)، و هو عدد أويلر (Euler).
أويلر أثبت أنه كان عددًا غير نسبي.
لقد أوجد صيغة جديدة لحساب (e) ليست هذه الصيغة السابقة، بل صيغة مختلفة.
و قد تمكن أويلر كذلك من حساب قيمة (e)، و قد توصل إلى ثمانية عشر مرتبة عشرية لهذا الرقم.
و ليفعل هذا استعمل صيغة مختلفة. سأريها لك.
حسنًا، لما يكون هذا بهذه الأهمية؟ لأن (e) هو اللغة الطبيعية للتضخم.
و سأريك السبب.
حسنًا، لنقم برسم رسم بياني، (Y = e ^ X)
و هنا، نحن نأخذ أسس ل(e). لذا عند الصفر، (X = 0)، سيتقاطع الخط عند الواحد.
لذا إذا أخذت نقطة على هذا الرسم، قيمة النقطة ستساوي ( e ^ X )
و لذلك، هذا الأمر مهم. الميل عند تلك النقطة، ميل المنحنى...
عند هذه النقطة يساوي ( e ^ X )، و المساحة تحت المنحنى، و التي تعني المساحة تحت هذا المنحنى...
حتى سالب ما لا نهاية تساوي كذلك ( e ^ X ).
و هذه هي الدالة الوحيدة التي تتمتع بهذه الخاصية.
القيمة، و الميل، و المساحة في كل نقطة تكون متساوية.
لذا، عند رقم 1، القيمة تساوي (e)، لأن القيمة عند هذه النقطة تساوي e ^ 1. القيمة تساوي 2.718 و الميل يساوي 2.718...
و المساحة تحت المنحنى تساوي 2.718. سبب أهمية هذا أنها خاصية فريدة.
و بسبب تمتعها بهذه الخاصية، (e) تصبح اللغة الطبيعية للتفاضل.
و التفاضل هو رياضيات معدل التغير و التضخم و المساحات.
و لو أنك مهتم بهذه الأشياء، إذا قمت بالكتابة باستخدام (e)، فإن الرياضيات تصبح أبسط بكثير.
لأنك إن لم تستخدم (e)، فستحصل على الكثير من الثوابت المعقدة
و حينها تصبح الرياضيات في فوضى. لو أنك تحاول ألا تستخدم (e)،
فإنك تجعل الأشياء أصعب. إنها اللغة الطبيعية للتضخم.
و بالطبع، فإن الثابت (e) يشتهر بجمع كل الثوابت الرياضية الشهيرة معًا باستخدام هذه الصيغة...
صيغة أويلر
هنا نحصل على جميع الثوابت الرياضية المهمة في صيغة واحدة.
لدينا (e)، و لدينا الرقم التخيلي (i)، و هو الجذر التربيعي لسالب واحد، و لدينا ال (pi)، و الرقمين 1 و 0.
و قد تم جمعهم في صيغة واحدة...
و التي يراها معظم الناس كأجمل صيغة في الرياضيات.
شكرا على المتابعه و المشاركه
الثوابت الرياضية هي أهم أنواع الثوابت، و (e) هو أحد هذه الثوابت.
(e) هو عدد غير نسبي، و هو يساوي : 2.178281828... إلخ
مشكلة الثابت (e) هو أنه ليس معرفًا هندسيًا (باستخدام الهندسة).
الآن، الثابت باي (pi) هو ثابت معرف هندسيًا. إنه النسبة بين محيط الدائرة وقطرها.
وهو أمر عرفه قدماء اليونانيون. الكثير من الثوابت الهندسية ترجع إليهم.
لكن الثابت (e) مختلف، فهو لا يعتمد على شكل هندسي، ليس معتمدًا على الهندسة.
إنه ثابت رياضي مرتبط بالتضخم ومعدل التغير، ولكن لما يرتبط بهما؟
لنأخذ نظرة على المسألة التي تم استعمال الثابت (e) للمرة الأولى فيها.
لذلك، سنعود إلى القرن السابع عشر، هذا هو جاكوب برنولي
تخيل أنك تملك جنيهًا في البنك. وهو بنك شديد الكرم، حيث أنهم سيعرضون عليك فائدةً سنوية بنسبة 100%.
فائدة بنسبة 100%، لذا، بعد عام...
ستمتلك جنيهين.
لقد قمت بكسب فائدة بقيمة جنيه، ولديك الجنيه الأصلي في البنك...
لذا، أصبحت تمتلك جنيهين.
ماذا إذا عرضت عليك فائدة بنسبة 50% كل ستة أشهر؟
أهذا أفضل أم أسوأ؟
حسنًا، لنفكر بالأمر...
حسنًا، ستبدأ بجنيه واحد، ثم سأعرض عليك فائدة بنسبة 50% كل ستة أشهر.
لذا، بعد ست أشهر، سيكون لديك جنيه ونصف.
ثم ستنتظر لست أشهر أخرى، و ستكسب فائدة بنسبة 50% على المجموع الكلي لنقودك...
و هو 75 قرشًا أخرى...
و ستجمع هذا على ما كان لديك بالفعل، ليصبح لديك جنيهن و ربع.
هذا أفضل!
إنه أفضل. لكن ماذا يحدث لو فعلت هذا بشكل أكثر انتظامًا؟
ماذا لو أضفت الفائدة كل شهر؟
سأعرض عليك فائدة بنسبة 1/12 كل شهر.
أهذا أفضل؟
لنفكر في الأمر.
بعد مرور أول شهر، سيتم ضربها في الرقم الآتي:
1 + 1/12
1/12، هذه هي فائدتك، و ستضيف قيمة هذه الفائدة إلى الجنيه الذي تمتلكه بالفعل.
ستفعل هذا في الشهر الأول...
ثم في الشهر الثاني...
ستأخذ هذه القيمة و تقوم بضربها مرةً أخرى..
في نفس القيمة.
و في الشهر الثالث ستقوم بضربها مرة أخرى...
و مرة أخرى.
ستفعل هذا إثنتي عشر مرة في العام.
لذلك، لحساب القيمة الكلية في عام،
سترفع هذه القمية إلى أس 12.
و القيمة ستكون 2.61 جنيه.
لذا هذا في الحقيقة أفضل. الحقيقة هي أنه كلما كان إضافة الفائدة أكثر انتظامًا...
كلما كانت النتيجة أفضل.
لنجرب هذا كل أسبوع. ماذا لو أنك أضفت ربحًا كل أسبوع؟ إلى أي درجة سيكون هذا أفضل؟
ما أعنيه هو أنك تربح فائدة بنسبة 1/52 من المبلغ الأصلي أسبوعيًا. و في نهاية العام...
يصبح لديك 52 أسبوعًا، و المبلغ الكلي سيكون 2.69 جنيه.
الأمر يصبح أفضل و أفضل.
بشكل كلي، يمكنك ملاحظة نمط يتكون... في العموم سيكون الشكل النهائي كالآتي:
أنت تضرب في (1 + 1/ن)^ن. أرجو أنكم تلاحظون حدوث هذا النمط.
لذا، هنا، ن = 12 لو أنك تضيف الفائدة كل شهر، و ن = 52 لو أنك تضيف الفائدة كل أسبوع.
لو أنك أضفت الفائدة يوميًا ستكون القيمة مساوية ل 1 * (1 + 1/365) ^ 365
و هذا يساوي 2.71 جنيه.
حسنًا، و يصبح الأمر أفضل لو أنك أضفت الفائدة كل ثانية أو كل نانو ثانية.
ماذا لو أضفت الفائدة باستمرار؟
في كل لحظة أربح فائدةً مستمرة. كيف سيبدو هذا؟
هذا يعني أنني هذه الصيغة الحسابية هنا...
ستصبح (1+1/ن)^ن، حيث ن تئول أو تتجه إلى ما لا نهاية.
ستكون هذه الفائدة المستمرة التي لا تنتهي. الآن، ما معنى هذا؟ ما هي هذه القيمة؟
و هذا هو ما أرد برنولي معرفته.
لم يتمكن من حلها، لكنه كان يعلم أن تلك القيمة تقع بين الإثنين و الثلاثة، و لذا فقد تمكن أويلر
أويلر يقوم بحل كل شيء!
و القيمة التي توصل لها أويلر كانت 2.718281828459... إلخ.
لقد كنا قريبين جدًا من هذه القيمة حينما قمنا بإضافة الفائدة يوميًا، أليس كذلك؟ لقد كانت القيمة تساوي 2.71 عند إضافة
الفائدة كل يوم.
لقد كنا نقترب أكثر و أكثر لتلك القيمة. لذا فعند الإضافة يوميًا، كنا شديدي القرب منها بالفعل.
لكن لو أنك فعلتها للأبد، سيكون لديك عدد غير نسبي.
أويلر أطلق على هذه القيمة (e). لم يقم بإطلاق اسمه عليها، و على الرغم من ذلك فهي معروفة باسم عدد أويلر.
و لما قام بتسميتها (e) إذن؟
لقد كان حرفًا فحسب. ربما كان قد قام باستخدام A و B و C و D بالفعل لشيء آخر.
أليس كذلك؟ لذا قام باستعمال الحرف التالي لهم.
مصادفة غريبة!
لا أظن أنه كان مغرورًا و قام بتسميتها بأول حرف من اسمه.
لكنها صدفة مذهلة، القيمة تسمى (e)، و هو عدد أويلر (Euler).
أويلر أثبت أنه كان عددًا غير نسبي.
لقد أوجد صيغة جديدة لحساب (e) ليست هذه الصيغة السابقة، بل صيغة مختلفة.
و قد تمكن أويلر كذلك من حساب قيمة (e)، و قد توصل إلى ثمانية عشر مرتبة عشرية لهذا الرقم.
و ليفعل هذا استعمل صيغة مختلفة. سأريها لك.
حسنًا، لما يكون هذا بهذه الأهمية؟ لأن (e) هو اللغة الطبيعية للتضخم.
و سأريك السبب.
حسنًا، لنقم برسم رسم بياني، (Y = e ^ X)
و هنا، نحن نأخذ أسس ل(e). لذا عند الصفر، (X = 0)، سيتقاطع الخط عند الواحد.
لذا إذا أخذت نقطة على هذا الرسم، قيمة النقطة ستساوي ( e ^ X )
و لذلك، هذا الأمر مهم. الميل عند تلك النقطة، ميل المنحنى...
عند هذه النقطة يساوي ( e ^ X )، و المساحة تحت المنحنى، و التي تعني المساحة تحت هذا المنحنى...
حتى سالب ما لا نهاية تساوي كذلك ( e ^ X ).
و هذه هي الدالة الوحيدة التي تتمتع بهذه الخاصية.
القيمة، و الميل، و المساحة في كل نقطة تكون متساوية.
لذا، عند رقم 1، القيمة تساوي (e)، لأن القيمة عند هذه النقطة تساوي e ^ 1. القيمة تساوي 2.718 و الميل يساوي 2.718...
و المساحة تحت المنحنى تساوي 2.718. سبب أهمية هذا أنها خاصية فريدة.
و بسبب تمتعها بهذه الخاصية، (e) تصبح اللغة الطبيعية للتفاضل.
و التفاضل هو رياضيات معدل التغير و التضخم و المساحات.
و لو أنك مهتم بهذه الأشياء، إذا قمت بالكتابة باستخدام (e)، فإن الرياضيات تصبح أبسط بكثير.
لأنك إن لم تستخدم (e)، فستحصل على الكثير من الثوابت المعقدة
و حينها تصبح الرياضيات في فوضى. لو أنك تحاول ألا تستخدم (e)،
فإنك تجعل الأشياء أصعب. إنها اللغة الطبيعية للتضخم.
و بالطبع، فإن الثابت (e) يشتهر بجمع كل الثوابت الرياضية الشهيرة معًا باستخدام هذه الصيغة...
صيغة أويلر
هنا نحصل على جميع الثوابت الرياضية المهمة في صيغة واحدة.
لدينا (e)، و لدينا الرقم التخيلي (i)، و هو الجذر التربيعي لسالب واحد، و لدينا ال (pi)، و الرقمين 1 و 0.
و قد تم جمعهم في صيغة واحدة...
و التي يراها معظم الناس كأجمل صيغة في الرياضيات.
شكرا على المتابعه و المشاركه
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق
صعبه , سهله , شرح واضح , صوت غير واضح , استفدت قليلا , استفدت , شرح بطيئ ممل